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可逆矩阵(Invertible Matrix)

2020-06-23 361 ℃


连结:矩阵乘法的限制及性质

在了解何谓矩阵、矩阵的基本运算及乘法的限制后,我们知道矩阵并没有消去律,也就是当 \(AB=AC\)(或 \(BA=CA\))时,\(B=C\) 不一定成立(注1)。

没有消去律在运算上是一件很不方便的事,当有了 \(AB=AC\) 却得不到 \(B=C\),就好比两个人从山的两侧挖隧道,预计在中点处贯通,当两个人都挖了相同的距离之后,竟发现隧道不一定会相通,那接下来麻烦可就大了!

所以,很自然地,我们就会想知道怎幺样才能保证隧道会贯通,也就是说在哪些情况下,\(AB=AC\) 两边的 \(A\) 是可以消去的?

我们想要找出哪些 \(A\) 可以从 \(AB=AC\) 的两边消去,就是要找出哪些「方」阵 \(A\) 可以满足 \(AM=MA=I\)(注2),其中为 \(I\) 单位方阵;因为一旦 \(AM=MA=I\) 成立,那我们就可以在 \(AB=AC\)(或 \(BA=CA\))的两侧同时乘上 \(M\),然后 \(A\) 就会被消去了,即:

\(MAB=MAC\)(或 \(BAM=CAM\))\(\Rightarrow IB=IC\)(或 \(BI=CI\))\(\Rightarrow B=C\)

请注意,由于矩阵的乘法没有交换律(\(MAB\) 与 \(ABM\) 不一定相等),所以上面的式子中,等号两边的 \(M\) 要有相同的对应位置,也就是一律从左侧乘上 \(M\),或是一律从右侧乘上 \(M\)。

符合 \(AM=MA=I\) 的方阵 \(A\),我们就称它是「可逆的」(invertible),或称为「可逆矩阵」、「可逆方阵」,而 \(M\) 就称为 \(A\) 的「反矩阵」或「反方阵」,换句话说,\(A\) 与 \(M\) 互为乘法反元素(注3),我们就将 \(M\) 记作「\(A^{-1}\)」(注4)。

至此,我们的问题就转变成:哪些方阵 \(A\) 是可逆的?且如何求其反方阵?

我们先以 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\) 为例说明如何判别它是可逆及如何求它的反矩阵。

假设 \(A\) 有反方阵 \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right]\),

则 \(AM = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y}&{z + 2u}\\ {3x + 4y}&{3z + 4u} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\),

我们得到两个联立方程组 \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 1\\ 3x + 4y = 0 \end{array} \right.\)、\(\left\{ \begin{array}{l} z + 2u = 0\\ 3z + 4u = 1 \end{array} \right.\),

由于反方阵是唯一的(注5),所以这两个联立方程组都要有唯一的一组解。

我们不需要真的去解这两个联立方程组,

从 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right| = – 2 \ne 0\) 就可以知道一定有唯一的解(注6)。

由于 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right|\) 恰好就是 \(A\) 的元所形成的行列式,

我们就称 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right|\) 是矩阵 \(A\) 的行列式,记作 \(\det~A\)。

换句话说,只要 \(\det~A\neq 0\),我们就可以确定 \(A\) 是可逆的,然后就可以求 \(A\) 的反方阵。至于求法,其实就是解联立方程组。因为两个联立方程组的未知数係数都相同,所以我们用矩阵的高斯消去法(注7)来求解的话,就可以合併写成一个:

可逆矩阵(Invertible Matrix)

所以,可得到 \(A\) 的反方阵 \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 2}&1\\ {\frac{3}{2}}&{ – \frac{1}{2}} \end{array}} \right]\)。

将上述的过程一般化,我们就可以得到2阶方阵 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的结论:

\((1)\)  \(\det A \ne 0\;\; \Leftrightarrow \;\;A\) 是可逆方阵。

\((2)\)  若 \(A\) 是可逆方阵,则 \({A^{ – 1}} = \displaystyle\frac{1}{{\det A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ – b}\\ { – c}&a \end{array}} \right]\)。

其中结论 \((1)\) 可以推广到 \(n\) 阶方阵,

至于 \(n\) 阶可逆方阵的求法,其实就是上述的方法,将矩阵 \(\left[ {\left. {A\;} \right|\;{I_n}} \right]\), \(I_n\) 为 \(n\) 阶单位方阵,

利用列运算(高斯消去法中所用的运算)化成 \(\left[ {\left. {{I_n}\;} \right|\;M} \right]\),则 \(M\) 就是 \(A^{-1}\)。

2阶可逆方阵有很简单的表达式 \({A^{ – 1}} = \displaystyle\frac{1}{{\det A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ – b}\\ { – c}&a \end{array}} \right]\),\(n\) 阶的表达式就複杂的多了,

在此不作介绍,请有兴趣的读者查阅线性代数的相关书籍。

注1:本文中提到的矩阵乘法,都是在有意义的情况下相乘的,也就是在能做乘法的情况下。
矩阵能相乘的条件,请参阅〈矩阵乘法的限制及性质〉一文)。

注2:当 \(A\cdot M\) 与 \(M\cdot A\) 都有意义时,\(A\) 与 \(M\) 必定是同阶方阵。
请参阅〈矩阵乘法的限制及性质〉一文

注3:这解答了〈矩阵的运算〉一文中最后的一个问题。

注4:\(A^{-1}\) 中的 \(-1\) 代表「反」、「逆」(inverse)的意思,千万不要读成 \(A\) 的负 \(1\) 次方,而是要读成 \(A\) 的反方阵,或是  \(A\) 的 inverse。

注5:

若 \(M\) 与 \(N\) 满足 \(MA=AM=I\)、\(NA=AN=I\),

则 \(MA=NA\),两边都从右侧乘上 \(M\),可得:

\(MAM = NAM\;\; \Rightarrow \;\;M(AM) = N(AM)\;\; \Rightarrow \;\;M{\kern 1pt} I = N{\kern 1pt} I\;\; \Rightarrow \;\;M = N\),

即反方阵是唯一的。

注6:请参阅本网站中洪誌阳的〈线性方程组的讨论〉一文。

注7:关于高斯消去法可参阅本网站中苏俊鸿的〈矩阵的高斯消去法〉一文。

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